Por: Rodolfo Bueno

(Continuación)

La leyenda cuenta que una terrible peste asola la ciudad de Atenas y que incluso Pericles muere como consecuencia de la misma. Una delegación de la ciudad va al oráculo de Delfos para consultar qué hacer para erradicar la mortal enfermedad. La respuesta es que hay que duplicar el altar consagrado a Apolo, cuya forma es cúbica. Los atenienses construyen un nuevo altar cuyas aristas son el doble de las del anterior, pero la peste no cesa y se vuelve más mortífera. Van a consultar otra vez al oráculo, que les advierte que el nuevo altar no es el doble de grande sino ocho veces mayor. La trisección de un ángulo consiste en dividir un ángulo dado en tres ángulos iguales. La cuadratura del círculo consiste en construir un cuadrado cuya área mida exactamente la de una circunferencia dada, o viceversa. Se cuenta que Anaxágoras intenta resolver este problema en la celda donde está preso por explicar fenómenos naturales que se atribuyen a los dioses. Estos tres problemas persisten durante milenios y todo matemático los intenta resolver, por lo que se convierten en paradigmas de lo imposible.

Gauss deduce una geometría en la que, sin ser contradictoria, no se cumple el quinto postulado, pero le asusta tanto el resultado que no publica su descubrimiento. Fueron Bolyai y Lobachevsky quienes independiente y simultáneamente dan a conocer al mundo una geometría con postulados idénticos a los de Euclides, excepto el quinto, y postulan que por un punto, que no pertenece a una recta, pasa un número infinito de rectas paralelas a la misma; lo que, aunque no sea intuitivo, es perfectamente válido desde el punto de vista de la lógica formal.

Galois, uno de los más célebres genios del siglo XIX, muere en un duelo a los veintiún años, pero deja en un cuaderno escrito la noche anterior la exposición de sus ideas. En sus notas concluye que una ecuación de quinto o mayor grado no es resoluble mediante fórmula alguna y demuestra también que es imposible con la sola ayuda de la regla y el compás trisecar un ángulo cualquiera o duplicar un cubo.

En 1862, Lindemann demuestra que el número π (pi) es trascendente. Esto implica que es imposible construir con sólo la regla y el compás un cuadrado de área igual a la de un círculo dado, con lo que son resueltos los tres problemas heredados de la antigua Grecia.

El 10 de junio de 1854, Bernhard Riemann dicta una conferencia en la Universidad de Gotinga. El tema es: “Sobre las hipótesis que están en los fundamentos de la geometría”. Su contenido se constituye en uno de los mayores logros científicos de la humanidad. De los presentes sólo su antiguo profesor, Gauss, escucha entusiasmado y es el único en capacidad de comprenderlo.

En la primera parte de su conferencia generaliza el concepto de superficie para cualquier número arbitrario de dimensiones, demuestra que la geodésica es la curva que minimiza la distancia entre dos puntos sobre cualquier superficie, es decir, un concepto análogo al de la recta en el plano, donde esta línea determina la menor distancia entre dos puntos. Encuentra que existen superficies en las que los triángulos formados por las geodésicas suman más de ciento ochenta grados y otras, en las que suman menos, lo que contradice al quinto postulado de Euclides.

Según Riemann, es la métrica del espacio, o sea la manera con que se mide la distancia que separa a dos puntos, lo que determina la geometría del espacio. Por ejemplo, el plano no es por sí mismo el plano euclidiano sino que con una métrica se cumple el quinto postulado, pero, con otra métrica, como la de Lobatchevsky, no se verifica dicho postulado. Debe transcurrir mucho tiempo para que sus ideas, avanzadas para la época, cuajen cuando Einstein y Poincare, al mismo tiempo pero de manera independiente, las apliquen para crear la Teoría de la Relatividad.

La gran revolución de la geometría la realiza Félix Klein, que en 1871 descubre que la geometría euclidiana y las no euclidianas son casos particulares de la geometría proyectiva y que la geometría euclidiana es consistente, o sea que no es contradictoria, si y sólo si son consistentes las geometrías no euclidianas. El aporte más importante de Klein es el Programa de Erlangen, donde da una nueva definición de geometría. En 1872 escribe una memoria que se puede considerar, junto con la Conferencia de Riemann y los Elementos de Euclides, como los puntos más esenciales de la geometría.

El Programa de Erlangen es bastante sencillo y trata de dar una definición formal sobre qué es geometría, más allá de la idea intuitiva que de ella se tenga, pues hay tantas que la pregunta es lógica, ya que está claro que no se trata del estudio de puntos, rectas y planos. Klein da la respuesta a esta pregunta introduciendo en la geometría el concepto de grupo, o sea un conjunto en el que está definida una operación. Descubre que la geometría es el estudio de las propiedades invariantes, que no cambian al aplicarles una transformación de tipo grupal. Las transformaciones que permanecen invariantes deben tener estructura de grupo para la operación de composición, o sea para la aplicación sucesiva de la misma transformación al resultado de la primera. Así descubre que, por ejemplo, la geometría euclidiana es el estudio de los invariantes mediante el grupo de los movimientos rígidos (como las simetrías, los giros y las traslaciones).

El descubrimiento de Klein es fundamental porque permite clasificar las geometrías, comprender cuál es la estructura general de cada una y, por último, confirmar que el método sintético y analítico no da geometrías distintas sino que realmente estudia en cada caso la misma geometría, lo que pone fin a la distinción entre ambos métodos. Klein consagra a la geometría proyectiva como la reina de las geometrías. Con él, por primera vez, una ciencia fue capaz de definirse a sí misma de manera rigurosa, por lo tanto, su pensamiento constituye el punto culminante del espíritu humano.