Por: Rodolfo Bueno
Y son el ideal simbólico de la verdad espiritual. Por eso inscribe a la entrada de su escuela: “Nadie entre aquí si no es geómetra”; de ahí que se le atribuya a este filósofo la frase: “Dios siempre hace geometría”. Cuando se habla del dios geómetra, se hace referencia a Apolo, en cuyo templo está grabada la inscripción: Gnothi séauton, o sea, conócete a ti mismo, que evoca a la gnosis y al conocimiento adquirido por la vía de la Geometría, ya que los griegos le otorgan a este hijo de Zeus el dominio de las ciencias y las artes.
La Geometría nace en los mismos albores de la humanidad, pues el hombre primitivo clasifica, según sus formas, los objetos que lo rodean. Esta tarea abstracta lo impulsa a acercarse intuitivamente a esta ciencia, que en el Egipto de los faraones tiene carácter práctico, porque las fórmulas son usadas como recetas para calcular áreas y longitudes. Los funcionarios del faraón buscan conocer la configuración de cada parcela para reconstruirlas después de que el Nilo las inunde y también determinar de antemano la producción para el cobro de los impuestos.
El alto contenido matemático de la geometría y su gran acervo de conocimientos se desarrollan en la magna Grecia, donde Tales, Pitágoras y Euclides la convierten en el estudio del orden espacial por medio de la medición de la relación de las formas de las figuras geométricas. Tales vive en Egipto donde aprende todos sus conocimientos; los sumos sacerdotes, que le habían enseñado gran parte de sus secretos, se asombran cuando él mide, a partir de la sombra proyectada, la altura de la Pirámide de Keops y predice un eclipse solar.
Fue Grecia, heredera de las culturas egipcia y mesopotámica, la que formaliza los conocimientos de estas civilizaciones y la que da el paso abstracto de considerar a los objetos como entes ideales, que pueden ser manipulados mentalmente con la sola ayuda de la regla y el compás; también en este país aparece la demostración como justificativo de la veracidad del conocimiento humano.
En la Escuela Pitagórica, la geometría, junto con las demás ramas de la matemática, es considerada como una preparación básica, indispensable para acceder al conocimiento superior. La figura de Pitágoras juega un rol central, pues eleva el concepto de número a la categoría de elemento primigenio, algo que hasta en la actualidad se da de manera explícita e implícita dentro de la matemática y la física. Los pitagóricos convierten así a la geometría en el ideal de su doctrina y consideran a la demostración como la única vía para el establecimiento de la verdad. Con ayuda de la geometría, Eratóstenes mide el tamaño de la Tierra y la distancia que la separa de la luna; así mismo, siglos después, Arquímedes inventa la palanca y una especie de rayo de la muerte, que concentra la luz del sol en un punto, que hace arder a distancia las naves del enemigo.
El teorema de Pitágoras genera la primera crisis de la matemática, pues aparecen los números inconmensurables, o sea los números irracionales que no son el resultado de la división de dos enteros; esta crisis es más de carácter aritmético que geométrico. Sucede que si se da a cada cateto el valor de uno, la hipotenusa mide raíz de dos, número que para los griegos no existe por ser inconmensurable, y llaman a este tipo de números irracionales porque los imaginan raros y excepcionales. Con el tiempo, veinticuatro siglos después, Cantor demuestra que los racionales no son ni siquiera una partícula insignificante de los irracionales.
También aparece en Grecia un problema de lógica pura: Para demostrar un resultado, denominado tesis, se parte de una o de varias hipótesis. La veracidad de la tesis depende de la validez del razonamiento con que se la obtiene y de la veracidad de las hipótesis. Entonces se debe partir de hipótesis ciertas para poder confirmar la tesis. Determinar la veracidad de la hipótesis exige considerarla como una tesis, cuya hipótesis se deberá comprobar también. Se entra, aparentemente, en un callejón sin salida, en un proceso sin fin en el que, a su vez, cada hipótesis se convierte en tesis a probar.
Euclides zanja esta cuestión al proponer un sistema en el que se acepta sin demostración la veracidad de ciertas hipótesis, a partir de las cuales se deduce la tesis. Su sistema se halla sintetizado en su obra cumbre, “Los Elementos”, modelo axiomático deductivo que se basa en cinco postulados y definiciones precisas, que constituyen toda la geometría y la aritmética de entonces. Con Euclides se cierra definitivamente la geometría griega y, por extensión, la del mundo antiguo y medieval.
A pesar de que veracidad del quinto postulado está fuera de toda duda, trae desde sus inicios el problema de si puede ser deducido de los otros cuatro. Durante los siguientes milenios, uno de los principales trabajos en la geometría va a consistir en determinar si el quinto postulado es dependiente de los otros cuatro, o sea si puede ser considerado un teorema deducible de los otros. Hasta la alta Edad Media en las escuelas y en las universidades se enseña “Los Elementos”, pero aunque nunca se llega a dilucidar si el quinto postulado es o no independiente de los otros cuatro, se le dan nuevas formulaciones equivalentes. Este postulado es posteriormente sintetizado y sostiene que por un punto fuera de una recta pasa una sola recta paralela a dicha recta.
Además de la disputa sobre si el quinto postulado es o no un teorema, la posteridad hereda tres problemas que la geometría griega fue incapaz de resolver: la duplicación del cubo, la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo. Es importante recalcar que estos se deben resolver con el empleo de la regla y el compás como instrumentos únicos. Hay que añadir que la regla sólo traza rectas, no mide distancias, y el compás sólo traza circunferencia y traslada distancias, pero no mide ángulos, algo a lo que no estamos acostumbrados porque con la regla y el compás usual si se lo hace.
(Continúa)