Con motivo del Día Internacional de las Matemáticas, hablamos de esta disciplina que a menudo se percibe como abstracta o distante, pero que para quienes la estudian resulta profundamente fascinante. A través de la mirada de una estudiante universitaria de primer curso, nos acercamos a una de esas ideas matemáticas que conquistan por su sencillez aparente y la riqueza de los problemas que encierra.
El 14 de marzo, Día Internacional de las Matemáticas, es una invitación a disfrutar de esta disciplina. Cada vez son más personas y, en especial, estudiantes, quienes lo hacen. Pero ¿qué es lo que les cautiva? Hemos pedido a Sofía Paz Chacón, una de las cuatro participantes de la primera edición del Mathematics Intensive Program (MIP) del Instituto de Ciencias Matemáticas (ICMAT), que nos lo cuente. Paz es alumna de primer curso de Matemáticas en la Universidad Autónoma de Madrid y, a lo largo de este año, ha sido tutorizada por Diego Córdoba, investigador del Consejo Superior de Investigaciones Científicas (CSIC) en el ICMAT y Premio Nacional de Investigación.
Paz llegó al MIP con una inclinación clara hacia las matemáticas, pero también con la sensación de que aún no conocía sus fronteras. De los temas que ha podido descubrir con su tutor durante estos primeros meses del programa, escoge el famoso teorema de los cuatro colores. Este afirma que cualquier mapa plano puede ser coloreado utilizando un máximo de cuatro colores distintos sin que dos regiones adyacentes tengan el mismo color.
Paz llegó al MIP con una inclinación clara hacia las matemáticas, pero también con la sensación de que aún no conocía sus fronteras
“Su fama viene del contraste entre la facilidad que tiene para enunciarse y lo difícil que fue demostrarlo. También por lo polémica que fue su demostración, ya que fue el primer gran teorema probado con asistencia de un ordenador”, explica. A ella, además, le ha fascinado otro de los aspectos de este avance matemático: durante una década se dio por buena una demostración que era errónea.
Demostración a ordenador
“Casi 100 años antes de la prueba definitiva, en 1879, Alfred Kempe publicó un intento de demostración”, relata. Kempe procedió por un método denominado inducción para mostrar que la propiedad es válida para mapas de cualquier número de países. “El primer paso es trivial: la propiedad se cumple fácilmente para mapas de una sola región, coloreándola con un color. Después, probó que, si suponemos que un mapa con un número n regiones puede ser coloreado por cuatro colores sin que dos países con fronteras adyacentes tengan el mismo color, entonces también es verdad para un mapa con un número n+1 de regiones”, explica.
Para ello introdujo un nuevo concepto, las cadenas de Kempe: secuencias de regiones adyacentes pintadas alternando entre dos colores (por ejemplo, rojo-azul-rojo-azul). Y supuso, erróneamente, que dos cadenas no podían entrelazarse. Durante años, la comunidad matemática aceptó su argumento como válido. La demostración de Kempe fue celebrada hasta que, en 1890, el matemático británico Percy John Heawood advirtió que las cadenas de Kempe sí podían entrelazarse de una forma que invalidaba uno de los pasos clave de la prueba.
Incluso en una disciplina asociada a la certeza absoluta, es posible convencerse —y convencer a otros— de que una demostración es correcta cuando contiene un error escondido en algún pliegue del razonamiento. Por ello, es tan importante la revisión por pares y el escrutinio colectivo
Este episodio, lejos de ser una anomalía, refleja algo profundamente humano y natural en la investigación matemática. Incluso en una disciplina asociada a la certeza absoluta, es posible convencerse —y convencer a otros— de que una demostración es correcta cuando contiene un error escondido en algún pliegue del razonamiento. Por ello, es tan importante la revisión por pares y el escrutinio colectivo.
Sofía Paz, participante del Mathematics Intensive Program del ICMAT y problema de los cuatro colores. ICMAT
El teorema de los cuatro colores no se demostraría definitivamente hasta casi un siglo después, en 1976, cuando Kenneth Appel y Wolfgang Haken lograron probarlo con una estrategia completamente distinta, basada en la reducción del problema a miles de configuraciones particulares cuya verificación requirió el uso intensivo de ordenador. Aquella demostración inauguró una nueva era, no exenta de polémica, en la que las máquinas pasaban a formar parte del proceso demostrativo, algo totalmente asumido a día de hoy.
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Formación intensiva en matemáticas avanzadas
El MIP escoge cada año a cuatro estudiantes con un interés excepcional por la disciplina y les ofrece una inmersión poco habitual en etapas tempranas de formación: seminarios avanzados, cursos y, sobre todo, contacto directo con personal investigador. No se trata tanto de aprender técnicas como de experimentar cómo se desarrollan las matemáticas contemporáneas.
Ya está abierta, hasta el próximo 15 de abril, la inscripción en el programa para estudiantes que vayan a empezar el primer curso de un grado de matemáticas en la Comunidad de Madrid. El MIP es completamente gratuito para los estudiantes y se extiende durante los cuatro años de su grado universitario. Al finalizar, recibirán un título específico emitido por el CSIC que certifica su participación.
Ágata Timón García-Longoria es coordinadora de la Unidad de Cultura Matemática del Instituto de Ciencias Matemáticas(CSIC-UAM-UC3M-UCM)