Por: Rodolfo Bueno
La geometría nace en los albores de la humanidad, pues el hombre primitivo clasifica según sus formas lo que le rodea. En Egipto, las fórmulas son usadas para calcular áreas y longitudes. Los funcionarios del faraón necesitan conocer el tamaño de cada parcela para reconstruirla después de las inundaciones periódicas del Nilo y, también, determinar de antemano la producción agrícola para el cobro de impuestos.
La geometría pasa de Egipto a Grecia, donde este saber se formaliza. Entre los siglos VII y III antes de Cristo, los griegos enriquecen la geometría con resultados nuevos. Tales vive en Egipto donde los sumos sacerdotes, que le habían enseñado gran parte de sus secretos, se asombran cuando mide, a partir de la sombra proyectada, la altura de la Pirámide de Keops y predice un eclipse solar. Con ayuda de la geometría, Eratóstenes mide el tamaño de la Tierra y la distancia que la separa de la luna; así mismo, siglos después, Arquímedes inventa la palanca y una especie de rayo que hace arder las naves del enemigo, al concentrar la luz del sol en un punto.
Para Platón, la geometría y los números son el ideal simbólico de la verdad espiritual y la esencia del lenguaje filosófico. A la entrada de su escuela hay la inscripción: “Nadie entre aquí si no es geómetra” y a Platón mismo se le atribuye la frase: “Dios hace siempre geometría”. Cuando este filósofo habla de dios se refiere a Apolo, pues los griegos le otorgan a este hijo de Zeus el dominio de las ciencias y las artes. En el templo levantado en honor a Apolo está escrito: Gnothi séauton, o sea, conócete a ti mismo, que evoca al conocimiento adquirido por medio de la Geometría.
El alto contenido matemático de la geometría es desarrollado por Tales, Pitágoras y Euclides, quienes la utilizan para estudiar el orden espacial por medio de la medición de las formas de las figuras geométricas y consideran a los objetos como entes ideales, que pueden ser manipulados mentalmente con la sola ayuda de la regla y el compás. La Escuela Pitagórica eleva el concepto de número a la categoría de elemento primigenio y considerada a la geometría como una ciencia indispensable para acceder a un conocimiento superior, una doctrina cuya tesis básica sostiene que la demostración es la única vía para el establecimiento de la verdad.
El teorema de Pitágoras genera la primera crisis de la matemática, pues como consecuencia de su demostración se conocen los números irracionales. Sucede que si a cada cateto se le asigna el valor de uno, la hipotenusa mide raíz de dos, número que no puede ser obtenido como resultado de la división de dos enteros y que para los griegos no existe por ser inconmensurable. Llaman a estos números irracionales porque los imaginan raros y excepcionales, con el tiempo, veinticuatro siglos después, Cántor demuestra que los números irracionales son, prácticamente, la totalidad de todos los números.
También en Grecia se resuelve un problema de lógica pura: Para demostrar un resultado, denominado tesis, se parte de una o de varias hipótesis. La veracidad de la tesis depende de la veracidad de las hipótesis y de la validez del razonamiento con que se obtiene la tesis. Entonces, se debe usar hipótesis ciertas para poder confirmar tesis verdaderas. Determinar la verdad de una hipótesis exige considerarla como una tesis, cuya verdad también debe ser comprobada. Se entra así en un círculo vicioso en el que, a su vez, cada hipótesis se convierte en una tesis a probar.
Euclides, 330-275 antes de Cristo, resuelve este problema al proponer un sistema axiomático en el que se acepta sin demostración la veracidad de ciertas hipótesis, a partir de las cuales se deducen las tesis. O sea, un sistema axiomático es un conjunto de axiomas mediante la combinación de los cuales se demuestra la tesis. Un axioma es aquello que parece evidente por ser indiscutible, es una expresión lógica, es una proposición cuya verdad se admite sin pruebas y que sirve de base para ulteriores razonamientos que conducen a una conclusión. Razonando por medio de axiomas se debe revelar todo el contenido de una ciencia. Resta por saber si hay contradicciones que se deducen de los axiomas y si existen afirmaciones que no pueden ser probadas o demostradas falsas.
Euclides, sobre la base de cinco postulados y cinco definiciones precisas, en su obra “Los Elementos”, una de las creaciones más importantes de la historia, recopila y formaliza los conocimientos geométricos de su época, con lo que definitivamente se completa la geometría griega y, por extensión, la del mundo antiguo.
Posteriormente, se va a exigir que un sistema axiomático sea consistente, esto es, que con ellos no se puede demostrar la verdad y la falsedad de una proposición formulada con toda precisión. En otras palabras, la razón deductiva es rigurosamente establecida para los sistemas axiomáticos, y una inferencia es válida si es imposible obtener conclusiones falsas a partir de premisas verdaderas. También se exige que el sistema axiomático sea completo, esto es, que no sea necesario añadirle nuevos axiomas para demostrar un teorema. En tercer lugar, que los axiomas del sistema axiomático sean independientes, esto es, que ninguno de ellos pueda ser deducido de los demás. De ser así, este axioma se debe retirar del sistema axiomático y se convierte en teorema.
En 1920, Hilbert propone investigar si la matemática deviene de un conjunto finito de axiomas escogidos correctamente y si se puede probar que este sistema axiomático es consistente; lo mismo se exige para toda ciencia. De haberse cumplido este objetivo, todo problema bien planteado se resolvería mediante la razón.
En 1931, Gödel mediante el Teorema de la Incompletitud, demuestra que sólo mediante sus propios axiomas no se puede demostrar la consistencia de la aritmética y, por lo tanto, la consistencia de ningún sistema más complejo que la contenga; de esta manera, demuestra que es indemostrable la consistencia de un sistema que incluya la aritmética. Según Gödel, un sistema axiomático, por bien definido que sea, tiene serias limitaciones y contiene por lo menos una proposición verdadera no demostrable, y si la misma se pudiera demostrar, el sistema sería contradictorio. Ejemplo, si se afirma esta sentencia no puede ser demostrada, entonces, el sistema formal, donde se la pudiera demostrar, sería inconsistente porque demostraría una sentencia que afirma que no puede ser demostrada, lo que es contradictorio. Si una sentencia no se puede probar dentro de un sistema formal, entonces lo que ella afirma es verdadero y, por lo tanto, la sentencia es consistente; pero como el sistema contiene una afirmación que semánticamente es cierta, pero que no se puede probar mediante la razón deductiva, entonces el sistema es incompleto.
El primer teorema de Gödel demuestra que todo sistema es incompleto y contiene afirmaciones que no se pueden refutar ni demostrar. La existencia de un sistema incompleto no es en sí sorprendente, significa simplemente que en él no se hallan todos los axiomas necesarios; pero éste no puede ser completado, pues cada vez que se añade un nuevo axioma, habrá por lo menos uno que haga falta. De esta manera, nunca habrá un conjunto completo de axiomas, en consecuencia, no se puede implementar el sistema formal planteado por Hilbert.
El segundo teorema de la incompletitud afirma que ningún sistema consistente puede ser usado para demostrarse a sí mismo, lo que es inquietante para los fundamentos de la matemática, puesto que, según éste nuevo teorema, si un sistema axiomático puede a partir de sí mismo demostrar que es consistente, entonces es inconsistente. La incompletitud afecta a la filosofía, particularmente a la lógica formal, que usa el formalismo para definir sus principios, pues nunca se podrá encontrar un sistema axiomático que sea capaz de demostrar todas las verdades matemáticas.
Estos resultados fueron devastadores para el intento de formalización de Hilbert, que, como ya dijimos, había propuesto que la consistencia de los sistemas más complejos podrían ser comprobados en términos de sistemas más sencillos; sin embargo, Minsky dijo que Gödel le había sostenido que los seres humanos no sólo son racionales sino que también poseen la intuición, importante soporte para buscar la verdad, y que sus teoremas no limitaban la capacidad cognoscente del hombre.
Para la psicología y las ciencias cognitivas, la intuición es el conocimiento obtenido sin seguir un patrón racional y cuya formulación no se puede explicar racionalmente. Se puede relacionar a este conocimiento con experiencias previas, pero no siempre es posible explicar el cómo ni el porqué de ciertas conclusiones. Así, en el conocimiento hay una habilidad que transciende la razón pura. Por lo tanto, la razón deductiva, la inductiva y la intuición, además de la imaginación y la inspiración, no mencionadas por Gödel, necesariamente se complementan en la búsqueda de la verdad.
Regresando al tema que se estaba tratando, hasta la alta Edad Media en las escuelas y las universidades se enseña “Los Elementos”. Pese a que nunca se logra deducir la independencia del quinto postulado de los otros cuatro, los intentos por demostrarlo conducen a nuevas formulaciones equivalentes. En la actualidad, el quinto postulado se formula en los siguientes términos: Por un punto fuera de una recta pasa una sola recta paralela a dicha recta.
A pesar de que veracidad del quinto postulado está fuera de dudas, conlleva desde su mismo inicio el problema de si se lo puede deducir de los otros cuatro, o sea, que no es un axioma sino un teorema. El mismo Euclides piensa así, pues no lo usa para hacer las demostraciones de la geometría. Durante los siguientes milenios, entre los trabajos importantes de todo matemático se incluye determinar si el quinto postulado es dependiente de los otros cuatro, o sea, si es un teorema. Todos fracasan al intentarlo.
Tanto fracaso lleva en 1829 a que Lovachetsky, rector de la universidad de Kazán, enfrente este problema por contradicción. Para ello acepta los cuatro primeros postulados de Euclides y niega el quinto. Propone que por un punto exterior a la recta pasan dos rectas paralelas que no la cortan, lo que evidentemente es falso. Supone que iba a encontrar alguna contradicción en las afirmaciones que se dedujeran de este nuevo postulado. De esta manera probaría que el sistema propuesto es inconsistente, por lo tanto el de Euclides es consistente. Curiosamente no haya contradicción alguna sino algo sorprendente, teoremas no contradictorios de una geometría perfectamente válida si la de Euclides es válida. Llama a estos resultados geometría imaginaria y publica “Sobre los fundamentos de la geometría” en la Universidad de Kazán. Esta geometría, llamada hipebólica, es la primera no euclidiana y en ella la suma de los ángulos internos de un triángulo es menor que 180 grados y la curvatura del espacio es negativa.
Estos resultados ya fueron obtenidos antes por Saccheri, pero cree que esta geometría no es consistente, esto es, que no está libre de contradicciones. Gauss también ha obtenido los mismos resultados, pero no se atreve a publicarlos, pues se pondría en riesgo su prestigio de “Príncipe de las matemáticas” al irse contra una arcaica verdad. Janos Bolyai, independientemente de Lovachetsky, obtiene también los mismos resultados. Pese a su importancia, se considera que esta nueva geometría es una elucubración matemática sin aplicación en el mundo real.
Posteriormente, Riemann obtiene otra nueva geometría, llamada elíptica, en la que para negar el quinto postulado de Euclides se afirma que por un punto exterior a una recta dada no se puede trazar ninguna recta paralela a ella. Lo que, en apariencia, es falso pues niega la existencia de paralelas. Sin embargo, esta afirmación es más evidente que la de Lovachetsky, pues dos meridianos son perpendiculares a la línea ecuatorial, sin embargo se cortan en los polos, por lo que no son paralelos. De esto se concluye que la suma de los ángulos internos del triángulo formado es mayor que 180 grados. En la geometría de Riemann la curvatura del espacio es positiva.
El 10 de junio de 1854, Riemann dicta una conferencia en la Universidad de Gotinga. El tema es: “Sobre las hipótesis que están en los fundamentos de la geometría”. Su contenido es uno de los mayores logros científicos de la humanidad. De los presentes sólo su viejo profesor, Gauss, escucha entusiasmado. Es el único que le comprende.
En la primera parte de la conferencia generaliza el concepto de superficie para cualquier número de dimensiones, demuestra que la geodésica es la curva que minimiza la distancia entre dos puntos sobre cualquier superficie, es decir, un concepto análogo al de recta en el plano, donde esta línea determina la menor distancia entre dos puntos. Encuentra que existen superficies en las que los triángulos formados por geodésicas suman más de ciento ochenta grados y otras, en las que suman menos, lo que contradice al quinto postulado de Euclides.
Según Riemann, la métrica del espacio, o sea la manera de medir la distancia entre dos puntos, es lo que determina la geometría del espacio. Así, el plano no es por sí mismo el plano euclidiano sino que lo es si su métrica cumple con el quinto postulado de Euclides; con otra métrica, como la de Lobatchevsky, no se cumple dicho postulado y en él se da la geometría hiperbólica, con todas sus peculiaridades.
Debe transcurrir más de medio siglo para que cuajen las ideas avanzadas de Riemann y Lovachetsky, cuando Einstein y Poincare de manera independiente las aplican para crear la Teoría Particular de la Relatividad. Diez años más tarde, hace exactamente un siglo, Einstein aplica las geometrías de Riemann y Lovachetsky para escribir las ecuaciones diferenciales que relacionan la geometría del espacio-tiempo con la energía que este contiene. La ley de la Gravitación de Newton es sustituida por las ecuaciones diferenciales del campo gravitacional de Einstein. En la Teoría General de la Relatividad, las ideas sobre la gravitación son geométricas.
Einstein sostiene que debido a la presencia de cuerpos con masas, la geometría del universo deja de ser euclidiana, o sea plana, y se transforma en curvilínea; de esta manera, el universo existe en una especie de espacio-tiempo curvado por la masa de los cuerpos que contiene. Lo que percibimos como fuerza de gravedad es el resultado de la curvatura del espacio-tiempo, causada porque la masa de los cuerpos curva la estructura espacial. Es la masa de los cuerpos, como la del Sol y la Tierra, la que deforma la geometría del espacio y los impele a rodar por estas deformaciones. En apariencia, la Tierra parece girar alrededor del Sol debido a la gravedad, pero es en realidad la curvatura del espacio la que obliga a la Tierra a hacerlo. Al mismo tiempo, la materia curva al espacio y la curvatura obtenida dirige el movimiento de la materia en el espacio; idea genial basada en la geometría de los espacios curvos. Sucede que la geometría y la física son interdependientes y han evolucionado cogidas de la mano.
En conclusión, se puede decir que, efectivamente, “Nada nuevo ha bajo el Sol” sino que las ideas del hombre han evolucionado con el tiempo. La Teoría General de la Relatividad de Einstein, lo más avanzado del pensamiento humano, es posible gracias principalmente a “Los Elementos” de Euclides y al problema del quinto postulado.