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La Geometría es el estudio del orden espacial

Por: Rodolfo Bueno

Esta ciencia aparece en los albores de la humanidad, pues el hombre primitivo clasifica los objetos que lo rodean según sus formas. En Egipto, la geometría tiene un carácter práctico, pues los funcionarios del faraón necesitan conocer cómo está configurada cada parcela para reconstituirla luego de las inundaciones del Nilo y también para determinar de antemano la producción para el cobro de los impuestos.

Fue en Grecia, heredera de las civilizaciones egipcia y mesopotámica, donde se formaliza los conocimientos de estas culturas y se le da un contenido abstracto y matemático a la geometría, que se convierte así en el estudio del orden espacial por medio de la relación de las formas y se considera a los objetos como entes ideales, que pueden ser manipulados mentalmente o con la sola ayuda de la regla y el compás.

Son Tales de Mileto, Pitágoras y Euclides los que transforman la geometría en el estudio del espacio mediante la relación entre las formas de las figuras. Tales aprende todos sus conocimientos y secretos de los sumos sacerdotes de Egipto. Con este saber predice un eclipse solar y mide, a partir de la sombra proyectada, la altura de la Pirámide de Keops. Con ayuda de la geometría, Eratóstenes mide el tamaño de la Tierra y la distancia que la separa de la luna; así mismo, siglos después, Arquímedes inventa la palanca y una especie de rayo de la muerte, que al concentrar la luz del sol en un punto hace a distancia arder las naves del enemigo.

En la Magna Grecia, la Escuela Pitagórica convierte la Geometría en el centro de su doctrina. Su conocimiento, junto la matemática, fue considerado básico para acceder a etapas superiores del desarrollo del espíritu humano. La figura de Pitágoras es central, pues eleva el concepto de número a la categoría de elemento primigenio, algo que también se da de manera explícita e implícita en las ciencias actuales. Los pitagóricos convierten así la geometría en el ideal de su doctrina, en la que el concepto de demostración es aceptado como la vía única para el establecimiento de la verdad geométrica.

El teorema de Pitágoras genera la primera crisis de la matemática, pues aparecen los números inconmensurables, o sea los números irracionales, que no pueden ser el resultado de la división de dos enteros; esta crisis es más de carácter aritmético que geométrico. Sucede que si se da a cada cateto de un triángulo rectángulo el valor de uno, la hipotenusa mide raíz de dos, número que para los griegos no existía ya que es inconmensurable. Llaman a estos números irracionales pues los imaginan raros y excepcionales. Con el tiempo, veinticuatro siglos después, Cantor demuestra que los racionales no son ni siquiera una parte insignificante de los irracionales.

Para Platón, la geometría y los números son la quinta esencia del lenguaje filosófico y el ideal simbólico de la verdad espiritual. Por eso inscribe a la entrada de su escuela: Nadie entre aquí si no es geómetra, lo que se comprende fácilmente cuando se sabe que a él mismo se le atribuye la fórmula de que Dios hace siempre Geometría. Cuando habla del dios geómetra, hace referencia al hijo de Zeus, Apolo, al que los griegos otorgan el dominio de las ciencias y las artes y en cuyo templo está grabada la inscripción: Gnothi séauton, o sea, conócete a ti mismo, que evoca a la gnosis y al conocimiento adquirido por la vía de la Geometría.

En Grecia aparece también un problema de lógica pura: Para demostrar un resultado, denominado tesis, se parte de una o de varias hipótesis. La veracidad de la tesis depende de la validez del razonamiento con que se la obtiene y de la veracidad de las hipótesis. Entonces se debe partir de hipótesis ciertas para poder confirmar la tesis. Determinar la veracidad de la hipótesis exige considerarla como una tesis, cuya hipótesis se deberá comprobar también. Se entra así en un proceso sin fin en el que, a su vez, cada hipótesis se convierte en tesis a probar.

Euclides zanja esta dificultad al proponer un sistema en el que se acepta sin demostración la veracidad de ciertas hipótesis, a partir de las cuales se deduce la tesis. Su sistema se halla sintetizado en su obra cumbre “Los Elementos”, modelo axiomático deductivo que se basa en cinco postulados y definiciones precisas, que constituyen toda la geometría y la aritmética de entonces. Euclides sintetizó el sistema deductivo basado en cinco postulados y, definitivamente, definió la Geometría del mundo antiguo y medieval.

A pesar de que la veracidad del quinto postulado está fuera de toda duda, trae desde sus inicios el problema de si puede ser deducido de los otros cuatro. Durante los siguientes milenios, uno de los principales trabajos en la geometría va a consistir en determinar si el quinto postulado es dependiente de los otros cuatro o no, o sea si puede ser considerado un teorema deducible de los otros. Hasta la alta Edad Media en las escuelas y en las universidades se enseña “Los Elementos”, pero aunque nunca se llega a dilucidar si el quinto postulado es o no independiente de los otros cuatro, se le dan formulaciones equivalentes, una de estas formulaciones dice que por un punto fuera de una recta pasa una sola recta paralela a dicha recta.
Además de la disputa sobre si el quinto postulado es o no un teorema, la posteridad hereda tres problemas que la geometría griega fue incapaz de resolver: la duplicación del cubo, la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo. Es importante recalcar que todos ellos deben ser resueltos con el empleo de la regla y el compás como instrumentos únicos. Hay que añadir que la regla sólo traza rectas, no mide distancias, y el compás sólo traza circunferencia y traslada distancias, pero no mide ángulos, algo a lo que no estamos acostumbrados porque con la regla y el compás usual si se lo hace.

La leyenda cuenta que una terrible peste asola la ciudad de Atenas y que incluso Pericles muere como consecuencia de la misma. Una delegación de la ciudad va al oráculo de Delos para consultar qué hacer para erradicar la mortal enfermedad. La respuesta es que hay que duplicar el altar consagrado a Apolo, cuya forma es cúbica. Los atenienses construyen un nuevo altar cuyas aristas son el doble de las del anterior, pero la peste no cesa y se vuelve más mortífera. Van a consultar otra vez al oráculo, que les advierte que el nuevo altar no es el doble de grande sino ocho veces mayor. El problema de la trisección de un ángulo consiste en dividir un ángulo dado en tres ángulos iguales y el de la cuadratura del círculo en construir un cuadrado cuya área mida exactamente la de una circunferencia dada, o viceversa. Se cuenta que Anaxágoras, preso por explicar fenómenos naturales que se atribuyen a los dioses, intenta resolver este problema en la celda donde se halla encerrado. Estos tres problemas persisten durante milenios y no hay matemático que no lo intentara resolver, por lo que se convierten en paradigmas de lo imposible.

Uno de los más célebres genios del siglo XIX, Galois, muere en un duelo a los veintiún años, pero deja en un cuaderno escrito la noche anterior la exposición de sus ideas. En ellas concluye que una ecuación de quinto o mayor grado no es resoluble mediante fórmula alguna y demuestra también que es imposible con la sola ayuda de la regla y el compás trisecar un ángulo cualquiera o duplicar un cubo. Lindemann, en 1862 demuestra que el número π (pi) es trascendente. Esto implica que es imposible construir con sólo la regla y el compás un cuadrado de área igual a la de un círculo dado, con lo que son resueltos los tres problemas heredados de la antigua Grecia.

Gauss deduce una geometría en la que, sin ser contradictoria, no se cumple el quinto postulado de Euclides, pero le asusta tanto lo que encuentra que no publica su descubrimiento. Posteriormente János Bolyai y Nicolái Lobachevsky, dan a conocer al mundo, simultánea e independientemente, una geometría con postulados idénticos a los de Euclides, excepto el quinto.

Lobachevsky intenta llegar a una contradicción sobre el quinto postulado, al que niega y sustituye por otro que sostiene que por un punto, que no pertenece a una recta, pasan por lo menos dos rectas paralelas a la recta dada; lo que, aunque intuitivamente parezca falso, es perfectamente válido desde el punto de vista de la lógica formal. Para su asombro obtiene una nueva geometría que es verdadera si es verdadera la de Euclides. En cambio, Bernhard Riemann niega el quinto postulado y sostiene que por un punto, que no pertenece a una recta, no pasa ni una recta paralela a la misma, lo que también es correcto desde el punto de vista de la lógica formal; así mismo, su geometría es válida si es valida la de Euclides.

Las tres geometrías, la de Lobachevsky, Euclides y Riemann, se diferencian sólo por la curvatura de Gauss, que puede ser negativa, cero o positiva, respectivamente. En el primer caso, la suma de los ángulos interiores de un triángulo es menor que 180 grados, en el segundo es igual a 180 grados y en el tercero es mayor que 180 grados. En el caso de la geometría de Riemann esto es fácil de observar, pues si nos situamos en el ecuador y observamos dos paralelos que caen perpendicularmente al meridiano ecuatorial, como se conoce que la suma de dos ángulos rectos es de 180 grados y si se le agrega a esta suma el valor del ángulo que los dos paralelos forman en el polo, el resultado, para cualquier triángulo así formado, da un valor mayor que 180 grados.

El 10 de junio de 1854, Bernhard Riemann dicta una conferencia en la Universidad de Gotinga. El tema es: “Sobre las hipótesis que están en los fundamentos de la geometría”. Su contenido se constituye en uno de los mayores logros científicos de la humanidad. De los presentes sólo su antiguo profesor, Gauss, escucha entusiasmado porque tal vez es el único en capacidad de comprenderlo.

En la primera parte de su conferencia generaliza el concepto de superficie para cualquier número arbitrario de dimensiones, demuestra que la geodésica es la curva que minimiza la distancia entre dos puntos sobre cualquier superficie, es decir, un concepto análogo al de la recta en el plano, donde esta línea determina la menor distancia entre dos puntos. Como ya se dijo, encuentra que existen superficies en las cuales los triángulos formados por las geodésicas suman más de ciento ochenta grados y otras, en las que suman menos, lo que contradice al quinto postulado de Euclides y a la intuición humana.

Según Riemann, es la métrica del espacio, o sea la manera con que se mide la distancia que separa a dos puntos, lo que determina la geometría del espacio. Por ejemplo, el plano no es por sí mismo el plano euclidiano sino que con una métrica se cumple el quinto postulado, pero, con otra métrica, como la de Lobachevsky, no se verifica dicho postulado. Debe transcurrir mucho tiempo para que sus ideas, avanzadas para la época, cuajen cuando Einstein y Poincare, al mismo tiempo pero de manera independiente, las apliquen para crear la Teoría de Particular la Relatividad.

La gran revolución de la geometría la realiza Félix Klein, que en 1871 descubre que la geometría euclidiana y las no euclidianas son casos particulares de la geometría proyectiva y que la geometría euclidiana es consistente, o sea que no es contradictoria, si y sólo si son consistentes las geometrías no euclidianas. El aporte más importante de Klein es el Programa de Erlangen, donde da una nueva definición de geometría. En 1872 escribe una memoria que se puede considerar, junto con la Conferencia de Riemann y los Elementos de Euclides, como los puntos más esenciales de la geometría.

El Programa de Erlangen es bastante sencillo y trata de dar una definición formal sobre qué es geometría, más allá de la idea intuitiva que sobre ella se tenga, la pregunta es lógica pues como hay tantas geometrías no se sabe lo que son, sólo está claro que no se trata del estudio de puntos, rectas, circunferencias y planos. Klein da la respuesta a esta pregunta introduciendo en la geometría el concepto de grupo, o sea un conjunto en el que está definida una operación y sus reglas. Descubre que la geometría es el estudio de las propiedades invariantes, o sea que no cambian al aplicarles una transformación de tipo grupal. Las transformaciones que permanecen invariantes deben tener estructura de grupo para la operación de composición, o sea, para la aplicación sucesiva de la misma transformación al resultado de la primera. Así descubre, por ejemplo, que la geometría euclidiana es el estudio de los invariantes mediante el grupo de los movimientos rígidos (como son las simetrías, los giros y las traslaciones paralelas).

El descubrimiento de Klein es fundamental porque permite clasificar las geometrías, comprender cuál es la estructura general de cada una de ellas y, por último, confirmar que el método sintético y analítico no da geometrías distintas sino que realmente estudia en cada caso la misma geometría, lo que pone fin a la distinción entre ambos métodos. Klein consagra a la geometría proyectiva como la reina de las geometrías. Con él, y por primera vez, una ciencia fue capaz de definirse a sí misma de manera rigurosa, lo que permite que su pensamiento constituya el punto culminante del pensamiento humano.

Para terminar, y como conclusión, el Universo tiene su propio lenguaje en el que la Geometría es el código que utiliza la Naturaleza como alfabeto. Sus huellas las encontramos en las ciencias, en las artes, en la arquitectura, en la música, en el lenguaje humano y animal, en la Cábala, en el ADN, en las retículas terrestres, en los colores, en nuestro corazón, en los animales, en la geología y, en general, en toda la Flor de la Vida. La Geometría estudia las proporciones y las medidas de la materia y de la tierra, y su relación con el principio de auto sustentación. Se puede sostener, sin temor a equivocarse, que así como la Lógica no es más que la crítica del pensamiento, la Geometría es la crítica del espacio-tiempo.

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